Онлайн
Alvaros
.
- Регистрация
- 14.05.16
- Сообщения
- 21.452
- Реакции
- 101
- Репутация
- 204
Солнце восходит над древнем Египтом, солнечный бог Ра послал править людьми фараона. А у фараона есть помощники по связи с начальством, жрецы, которые вполне могли бы задавать новобранцем какую нибудь хитрую задачку, на отбор. Я точно не знаю, так ли это всё было, но пример задачки существует, и в моём пересказе звучит так.
В «колодце лотоса», круглом, с ровным дном и вертикальными стенками, должен быть уровень воды ровно один древнеегипетский метр. Определяют сколько наливать просто: бросают две жерди, длиной два и три метра, они нижними концами встают напротив друг друга, и пересекаются ровно на нужной высоте. Каков диаметр колодца.
Конечно, можно сразу перевести задачу в плоскость. Построим модель колодца, радиусом в один метр, соответственно, в плоскости шириной в два.
Чтобы изобразить жерди, можно использовать зависимости координат
Где a и b это высота пересечений с осью колодца для длинной и короткой жерди. Для отображения каждой точки жерди n это вертикальная координата, m это горизонтальная. Так можно и оставить дальше, для обозначения координат пересечения, в виде уровня над дном и смещения от оси.
Наш колодец другой ширины, так что и уровень воды будет не метр. Вполне ясен коэффициент масштаба между колодцами — он, так как уровень надо привести к единице равен
. Или
, так как ширину надо привести от 2 к L.
Получается,
.
Так как
то
После «разворота»:
После подстановки:
Для n можно построить ещё одно выражение.
После деления
Для m можно получить ещё одну закономерность:
После умножения
Теперь обозначим условия задачи.
Длина жердей по теореме Пифагора:
Или проще:
Если убрать из правой части n:
Если убрать из правой части константу:
Это уравнение можно выразить через
и
:
И тут
прекрасно сокращается.
Из этого определения m уже можно посчитать без решения уравнений четвертой степени, а просто подставляя значение в формулу по кругу несколько раз.
Но если сделать замену
то уравнение станет
Получается, чтобы решить задачу нужно всего-то пересечь две параболы разного размера, которые друг относительно друга повернуты на прямой угол, и край одной лежит на оси другой.
Как же из r вывести L?
Из
выводится
И тогда доступна такая последовательность преобразований:
В итоге получается
Поэтому, простой ответ такой:
Вот и всё, осталось построить, и по древнеегипетской традиции налить…
Впрочем, можно ещё избавиться от рекурсии и найти из уравнения
нужный нам корень.
Получится
Наверное, новобранцам давали две глиняных таблички, на одну бы не влезло.
В «колодце лотоса», круглом, с ровным дном и вертикальными стенками, должен быть уровень воды ровно один древнеегипетский метр. Определяют сколько наливать просто: бросают две жерди, длиной два и три метра, они нижними концами встают напротив друг друга, и пересекаются ровно на нужной высоте. Каков диаметр колодца.
Конечно, можно сразу перевести задачу в плоскость. Построим модель колодца, радиусом в один метр, соответственно, в плоскости шириной в два.
Чтобы изобразить жерди, можно использовать зависимости координат
Где a и b это высота пересечений с осью колодца для длинной и короткой жерди. Для отображения каждой точки жерди n это вертикальная координата, m это горизонтальная. Так можно и оставить дальше, для обозначения координат пересечения, в виде уровня над дном и смещения от оси.
Наш колодец другой ширины, так что и уровень воды будет не метр. Вполне ясен коэффициент масштаба между колодцами — он, так как уровень надо привести к единице равен
Получается,
Так как
После «разворота»:
После подстановки:
Для n можно построить ещё одно выражение.
После деления
Для m можно получить ещё одну закономерность:
После умножения
Теперь обозначим условия задачи.
Длина жердей по теореме Пифагора:
Или проще:
Если убрать из правой части n:
Если убрать из правой части константу:
Это уравнение можно выразить через
И тут
Из этого определения m уже можно посчитать без решения уравнений четвертой степени, а просто подставляя значение в формулу по кругу несколько раз.
Но если сделать замену
то уравнение станет
Получается, чтобы решить задачу нужно всего-то пересечь две параболы разного размера, которые друг относительно друга повернуты на прямой угол, и край одной лежит на оси другой.
Как же из r вывести L?
Из
И тогда доступна такая последовательность преобразований:
В итоге получается
Поэтому, простой ответ такой:
Вот и всё, осталось построить, и по древнеегипетской традиции налить…
Впрочем, можно ещё избавиться от рекурсии и найти из уравнения
Получится
Наверное, новобранцам давали две глиняных таблички, на одну бы не влезло.