Онлайн
Alvaros
.
- Регистрация
- 14.05.16
- Сообщения
- 21.452
- Реакции
- 101
- Репутация
- 204
You must be registered for see links
Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.
В статье
You must be registered for see links
, в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.Но в поисках «вариаций на тему» рутина горит как кокс. Поэтому — в путь.
Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная — в меньшей.
Метрика
Рассмотрим получение метрики
You must be registered for see links
, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано
You must be registered for see links
.I. Представим одномерное пространство
Можно сказать, что пространство
Зададим произвольную точку
где
С другой же стороны, кривизна
Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат
Заметки на полях. Форма зависимости
замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди
(a — катет, c — гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.
You must be registered for see links
:
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.
Подставляем
Получим:
Если пространство плоское (
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный (
Чем дальше мы движемся в таком пространстве
II. Расширим пространство
Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах
Красным — «кривая» часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики
You must be registered for see links
.В таком представлении хорошо видно, что последнее «кривое» слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она «сворачивается» в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей
Подробно переход к сферическим координатам и получение представления
$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$
красным здесь снова «кривая» часть:
где
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди — красный, зелёный, синий):
это диагональные члены метрического тензора.
III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием
Заметки на полях. Последнюю замену
,
чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера
, при этом
— дуга длины
. Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.
И вот он наш метрический тензор:
$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$
Тензор пространства-времени
Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):
Здесь предполагается, что за время
Получим тензор пространства-времени:
$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$
Символы Кристоффеля второго рода
Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить
You must be registered for see links
.I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах
где
Однако, если перейти к сферическим координатам
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам
Красным — члены матрицы трансформации (
You must be registered for see links
):$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$
Осталось продифференцировать ещё раз по времени:
Получим:
Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы «освободим» ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:
И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат
$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$
То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще,
You must be registered for see links
— это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге
You must be registered for see links
.Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):
$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$
Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.
Например
$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$
При этом:
Отсюда:
$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$
Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:
$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$
Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.
Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.
Выразим
Домножим обе части (7) скалярно на
1. При этом скалярное произведение векторов:
Продифференцируем последнее по
И выразим нужный член:
Подставим в изначальное:
2. По определению для произвольного вектора
Следовательно:
Сопоставляя с (7), получим:
3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:
Или можно представить так:
Перераспределим:
4. Синяя часть сквозит производной произведения:
Пользуясь тем, что:
Получим (у Аменадзе здесь опечатка):
5. Подставим в п.4:
И, наконец…
… коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:
$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$
Подразумевая, что сокращения следует читать так
1. Что такое
You must be registered for see links
.В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:
то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:
$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$
2. Как читать запись типа
$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$
III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю (
$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$
что полностью выглядит так:
$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$
Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.
Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW
Итого: 45/64
Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW
Итого: 19/64
Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.
$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$
$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$
$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$
$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$
Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки
You must be registered for see links
, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой
You must be registered for see links
.
You must be registered for see links
, присутствующий во втором слагаемом левой части — это уже свёртка тензора Риччи.То есть всё, что нам нужно — это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:
по которой нам потребуются только члены вида
$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$
Здесь подразумевается
You must be registered for see links
(по
Примеры расчёта компонентов тензора Римана
1.
2.
3.
4.
и т.д.
II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:
То есть иначе их можно выразить так:
Вид «под скляр» готов.
III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:
Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:
Уравнения общей теории относительности
Математическая формулировка ОТО выглядит так:
где
«Тензор материи»
$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$
где
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное
- Для пространственных координат
:
Что после ряда упрощений даст:
- Для временной координаты
:
Или после упрощения:
Резюме
Если справа вместо тензора энергии-импульса «пыли» подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются
You must be registered for see links
современной стандартной космологической
You must be registered for see links
.Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.
Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!